数学 / Math

指数

$$a^0 = 1$$

$$a^1 = a$$

$$a^2 = a\times a$$

$$a^3 = a\times a\times a$$

$$~ \vdots ~$$

$$a^n = a\times a\times \cdots\times a$$

「$a$の$n$乗(じょう)」と言う。

累乗根

$n$乗して$b$になる数を「$b$の$n$乗根(じょうこん)」といい、とくに2乗根のことを平方根、3乗根のことを立方根という。

$n$が奇数のとき、$b$の$n$乗根のうち実数のものは1つあり、これを $\sqrt[n]{b}$であらわす。また、$n$が偶数のとき、$b$の$n$乗根は正負2つあり、それらを $\sqrt[n]{b}$と $-\sqrt[n]{b}$であらわす。

$b=0$なら $\sqrt[n]{b}=0$。$b<0$なら実数となる$n$乗根はない。

指数の拡張

$a>0$、$m$、$n$が正の整数のとき、指数を以下のように拡張する。

正の有理数 $r=\frac{n}{m}$に対して $a^r=a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$

負の有理数$-r$に対して $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$

指数法則

$a$と$b$は正数、$x$と$y$は実数として

$$a^0 = 1$$

$$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$$

$$a^xa^y = a^{x+y}$$

$$(a^x)^y = a^{xy}$$

$$(ab)^x = a^x b^x$$

対数

$a^m=M$($a>0$,$a\neq 1$)のとき $m=\log_{a}M$とする。

$$\log_aa = 1$$

$$\log_a1 =$$ 0

$$\log_axy = \log_ax+\log_ay$$

級数

$$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n\left(n+1\right)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2$$

$$\sum_{k=1}^{n}k^4 = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n^2+3n-1\right)}{30}$$

$$\sum_{k=1}^{n}k^5 = \frac{n^2\left(n+1\right)^2\left(2n^2+2n-1\right)}{12}$$

等比数列の和の公式

$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}$$

$$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n}$$

$$S_n - rS_n = a - ar^n$$

$$S_n = \frac{a - ar^n}{1 - r}$$

なので、

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

階乗とガンマ関数

非負整数$n$の階乗 (factorial) は $n! = n\times (n-1)\times (n-2) \times (n-3) \ldots \times 1$である。ただし$0!=1$とする。例えば$4!=24$、$5!=60$となる。

ガンマ関数 (Gamma function) は、階乗を整数以外に拡張したもので、非負実数$z$について

$$\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{{z-1}}e^{{-t}}\,\mathrm{d}t$$

である。自然数については $n!=\Gamma (n+1)$が成り立つ。例えば $\Gamma (5)=24$、 $\Gamma (5.5)=52.34278$、 $\Gamma (6)=60$である。（階乗とガンマ関数では$n$が1ずれることに注意）

二項係数

二項係数 (binomial coefficients) は、$(x+y)^n$を展開したときにあらわれる各項の係数である。

$$(x+y)^1 = 1x^1 + 1y^1$$

$$(x+y)^2 = 1x^2 + 2x^1y^1 + 1y^2$$

$$(x+y)^3 = 1x^3 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + 1y^3$$

$$(x+y)^4 = 1x^4 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^3y^1 + 1y^4$$

$$(x+y)^5 = 1x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5x^1y^4 + 1y^5$$

この係数は、$n$個のものから$k$個を抜き出す組み合わせの数でもある。例えば $\binom{5}{1}=\binom{5}{4}=5$、 $\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$となる。

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$

$$~ = \prod_{i=1}^{k}\frac{n+1-i}{i}$$

点と直線の距離の公式

座標平面上において、点 $(x_1, y_1)$と直線$ax+by+c=0$との距離 (点から直線への垂線の長さ) は

$$l = \frac{\left\vert ax_1+by_1+c\right\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

で計算できる。

点と平面の距離の公式も同様。点 $(x_1, y_1, z_1)$と直線 $ax+by+cx+d=0$との距離 (点から平面への垂線の長さ) は

$$l = \frac{\left\vert ax_1+by_1+cz_1+d\right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

で計算できる。

法線ベクトル

曲線$f(x,y)=0$があったとき、その法線ベクトルは $\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$である。¹

たとえば、二次曲線$x^2+y-3=0$があったとき、その法線ベクトルは

$$\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y-3\right),\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2+y-3\right)\right) = \left(2x,1\right)$$

このままだと使いにくいときは $\left\vert(2x,1)\right\vert$で割って単位法線ベクトルにしてしまえばいい。

$$\left(\frac{2x}{\sqrt{(2x)^2+1^2}},\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+1^2}}\right)$$

法線ベクトルの求め方は多次元でも同様に $\nabla f\left(x_1,x_2,x_3\cdots,x_n\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1... ...},\frac{\partial f}{\partial x_3},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

接線

曲線$f(x,y)=0$の点 $(\overline{x},\overline{y})$における接線は

$$\frac{\partial \overline{f}}{\partial x}\left(x-\overline{x}\right) + \frac{\partial \overline{f}}{\partial y}\left(y-\overline{y}\right) = 0$$

ただし $\frac{\partial\overline{f}}{\partial x}$は曲線$f(x,y)=0$上の点 $(\overline{x},\overline{y})$における法線ベクトルの$x$成分である。$y$についても同様。

上記の二次曲線$x^2+y-3=0$上の点における接線は、まず法線ベクトルが $\left(2x,1\right)$なので

$$2\overline{x}\left(x-\overline{x}\right) + 1\left(y-\overline{y}\right)=0$$

である。例えば、点 $\left(\overline{x},\overline{y}\right)=\left(1,2\right)$での接線は

$$2\left(x-1\right) + \left(y-2\right)=0$$

つまり

$$y = -2x + 42\left(x-1\right) + \left(y-2\right)=0$$

となる。この方法は次元が増えても同様。

テイラー展開

1変数関数$f(x)$のテイラー展開は

$$f(x+\Delta x) = f(x) + f^{\prime}(x)\Delta x + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)\Delta x^2 + \frac{1}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)\Delta x^3 + \cdots$$

$$~ = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\Delta x^k$$

2変数関数$f(x,y)$のテイラー展開は

$$f(x+\Delta x, y+\Delta y) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(... ...\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y\frac{\partial}{\partial y} \right)^{k}f$$

$n$変数関数の場合は

$$f(x_{1}+\Delta x_{1}, \cdots , x_{n}+\Delta x_{n}) = \sum_{k=1}^{... ...ial x_{1}} + \cdots + \Delta x_{n}\frac{\partial}{\partial x_{n}} \right)^{k}f$$