Subsections

数学 / Math

指数


$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle a^1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$  
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times a$  
$\displaystyle a^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times a\times a$  
$\displaystyle $ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle $  
$\displaystyle a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times a\times \cdots\times a$  

$a$$n$乗(じょう)」と言う。

累乗根

$n$乗して$b$になる数を「$b$$n$乗根(じょうこん)」といい、とくに2乗根のことを平方根、3乗根のことを立方根という。

$n$が奇数のとき、$b$$n$乗根のうち実数のものは1つあり、これを $\sqrt[n]{b}$であらわす。また、$n$が偶数のとき、$b$$n$乗根は正負2つあり、それらを $\sqrt[n]{b}$ $-\sqrt[n]{b}$であらわす。

$b=0$なら $\sqrt[n]{b}=0$$b<0$なら実数となる$n$乗根はない。

指数の拡張

$a>0$$m$$n$が正の整数のとき、指数を以下のように拡張する。

正の有理数 $r=\frac{n}{m}$に対して $a^r=a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$

負の有理数$-r$に対して $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$

指数法則

$a$$b$は正数、$x$$y$は実数として

$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^x}$  
$\displaystyle a^xa^y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$  
$\displaystyle (a^x)^y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{xy}$  
$\displaystyle (ab)^x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^x b^x$  

対数

$a^m=M$($a>0$,$a\neq 1$)のとき $m=\log_{a}M$とする。


$\displaystyle \log_aa$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle \log_a1$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \log_axy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_ax+\log_ay$  

級数


$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left(n+1\right)}{2}$  
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2$  
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n^2+3n-1\right)}{30}$  
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2\left(n+1\right)^2\left(2n^2+2n-1\right)}{12}$  

等比数列の和の公式


$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}$  
$\displaystyle rS_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n}$  
$\displaystyle S_n - rS_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a - ar^n$  
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a - ar^n}{1 - r}$  

なので、

$\displaystyle a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
$

点と直線の距離の公式

座標平面上において、点 $(x_1, y_1)$と直線$ax+by+c=0$との距離 (点から直線への垂線の長さ) は

$\displaystyle l = \frac{\left\vert ax_1+by_1+c\right\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}
$

で計算できる。

点と平面の距離の公式も同様。点 $(x_1, y_1, z_1)$と直線 $ax+by+cx+d=0$との距離 (点から平面への垂線の長さ) は

$\displaystyle l = \frac{\left\vert ax_1+by_1+cz_1+d\right\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$

で計算できる。

法線ベクトル

曲線$f(x,y)=0$があったとき、その法線ベクトルは $\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$である。1

たとえば、二次曲線$x^2+y-3=0$があったとき、その法線ベクトルは

$\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y-3\right),\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2+y-3\right)\right) = \left(2x,1\right)
$

このままだと使いにくいときは $\left\vert(2x,1)\right\vert$で割って単位法線ベクトルにしてしまえばいい。

$\displaystyle \left(\frac{2x}{\sqrt{(2x)^2+1^2}},\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+1^2}}\right)
$

法線ベクトルの求め方は多次元でも同様に $\nabla f\left(x_1,x_2,x_3\cdots,x_n\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1...
...},\frac{\partial f}{\partial x_3},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

接線

曲線$f(x,y)=0$の点 $(\overline{x},\overline{y})$における接線は

$\displaystyle \frac{\partial \overline{f}}{\partial x}\left(x-\overline{x}\right)
+ \frac{\partial \overline{f}}{\partial y}\left(y-\overline{y}\right) = 0
$

ただし $\frac{\partial\overline{f}}{\partial x}$は曲線$f(x,y)=0$上の点 $(\overline{x},\overline{y})$における法線ベクトルの$x$成分である。$y$についても同様。

上記の二次曲線$x^2+y-3=0$上の点における接線は、まず法線ベクトルが $\left(2x,1\right)$なので

$\displaystyle 2\overline{x}\left(x-\overline{x}\right) + 1\left(y-\overline{y}\right)=0
$

である。例えば、点 $\left(\overline{x},\overline{y}\right)=\left(1,2\right)$での接線は

$\displaystyle 2\left(x-1\right) + \left(y-2\right)=0
$

つまり

$\displaystyle y = -2x + 42\left(x-1\right) + \left(y-2\right)=0
$

となる。この方法は次元が増えても同様。

テイラー展開

1変数関数$f(x)$のテイラー展開は

$\displaystyle f(x+\Delta x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x) + f^{\prime}(x)\Delta x + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)\Delta x^2 + \frac{1}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)\Delta x^3 + \cdots$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\Delta x^k$  

2変数関数$f(x,y)$のテイラー展開は

$\displaystyle f(x+\Delta x, y+\Delta y) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(...
...\frac{\partial}{\partial x} + \Delta y\frac{\partial}{\partial y} \right)^{k}f
$

$n$変数関数の場合は

$\displaystyle f(x_{1}+\Delta x_{1}, \cdots , x_{n}+\Delta x_{n}) = \sum_{k=1}^{...
...ial x_{1}} + \cdots + \Delta x_{n}\frac{\partial}{\partial x_{n}} \right)^{k}f
$

MARUI Atsushi
2022-04-05